1896年（明治29）生まれの洋画家。東京都出身。本名は武臣（たけおみ）。父・甕臣（みかおみ）は国語学者、祖父・甕雄（みかお）は歌人であった。孫は元衆議院議員の林潤。1909年（明治42）、牛込区余丁町小学校を卒業。東鄕青児が同級生であった。この時、先生だった本間寛に東郷ともに絵の才能を見出される。

1910年（明治43）早稲田実業学校予科を中退ののち，さまざまの職を転々とするが，画家としてデビューするのは1921年（大正10）の第8回二科展に「婦人像」が初入選(樗牛賞)してからである。1930年（昭和5）独立美術協会が創立されるに及んで，以後同会を主要な発表の場とする。

武の絵画には岸田劉生、セザンヌ、モディリアーニ、ピカソ、マティス、ビュッフェなどの影響を見てとることができる。初期の作品は絵具を薄く塗る傾向が強かったが、戦後になってからは原色を多用し絵具を盛り上げた手法で女性や花、風景などを描き人気を得た。サインは「Takeshi・H」もしくは「Take・H」と記すことが多い。武が戦後に獲得した絢爛豪華な作風は多くのファン層を取りこみ、おりしも1950年代から60年代にかけて起こった投機的絵画ブームにも乗り、一時期は号あたり20万という高値で取引されるようにもなった。武が晩年に多く描いた薔薇や富士山の絵画は今もって市場では人気が高いが、一方で代表作とされる「梳る女」（1949年）や「静物」（1948年）などが描かれた1940年代から50年代にかけての時期が林の黄金期であったとする見方も多い。

上記以外の代表作品に「伏目の女」「赤衣の婦人」「薔薇」「ノートルダム」「エッフェル」「赤富士」等がある。

1967年（昭和42）文化勲章受章。1975年（昭和50）、肝臓癌のため死去。享年79歳。病床で描いた「薔薇」が絶筆となった。没後、従三位叙勲。